第二章、导数与微分

第一节、导数定义

$1、\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}\mathrm{一}\mathrm{点}\mathrm{处}(x=x_0\mathrm{处})\mathrm{的}\mathrm{导}\mathrm{数}（\mathrm{本}\mathrm{质}\mathrm{是}\mathrm{极}\mathrm{限}）$

$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

$\mathrm{也}\mathrm{可}\mathrm{记}\mathrm{作}：y^{\prime }{|}_{x=x_0}=\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}=\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$

$\hspace{2em}2、导函数（本质是函数），若f(x)在某个开区间上处处可导，x \in I ，任意一个x都对应着一个导数（极限值） $

$\mathrm{这}\mathrm{样}\mathrm{的}\mathrm{关}\mathrm{系}\mathrm{叫}\mathrm{做}{f}^{\prime }(x)\mathrm{导}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{记}\mathrm{作}：y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{df(x)}{dx}$，

$\mathrm{导}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{式}：$

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

$\mathrm{注}\mathrm{意}$

$\text{求导数}\{\begin{array}{l}\text{某个点：极限}\\ \text{某个区间：导函数}\end{array}$

$3、\mathrm{单}\mathrm{侧}\mathrm{导}\mathrm{数}$

$（1）\mathrm{单}\mathrm{侧}\mathrm{导}\mathrm{数}：f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

$（2）\mathrm{左}\mathrm{导}\mathrm{数}：f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}，\mathrm{若}\mathrm{存}\mathrm{在}，\mathrm{则}\mathrm{为}\mathrm{左}\mathrm{导}\mathrm{数}$

$（3）\mathrm{右}\mathrm{导}\mathrm{数}：f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}，\mathrm{若}\mathrm{存}\mathrm{在}，\mathrm{则}\mathrm{为}\mathrm{右}\mathrm{导}\mathrm{数}$

$（4）\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}x=x_0\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{导}（\mathrm{开}\mathrm{区}\mathrm{间}）\stackrel{}{\iff }\mathrm{左}\mathrm{存}\mathrm{在}，\mathrm{右}\mathrm{存}\mathrm{在}，\mathrm{且}\mathrm{左}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{等}\mathrm{于}\mathrm{右}\mathrm{导}\mathrm{数}$

$（4）\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}\mathrm{闭}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{上}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{可}\mathrm{导}\{\begin{array}{l}\mathrm{①}(a,b)\mathrm{可}\mathrm{导}\\ \mathrm{②}x=a\mathrm{处}\mathrm{右}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{存}\mathrm{在}\\ \mathrm{③}x=b\mathrm{处}\mathrm{左}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{存}\mathrm{在}\end{array}$

二、函数可导性与连续性的关系

$1、\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{必}\mathrm{连}\mathrm{续}，\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{可}\mathrm{导}$

第二节、函数的求导法则

一、四则运算求导法则

$1、\mathrm{定}\mathrm{理}1：\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{函}\mathrm{数}u=u(x)\mathrm{即}v=v(x)\mathrm{都}\mathrm{在}\mathrm{点}x\mathrm{具}\mathrm{有}\mathrm{导}\mathrm{数}，\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{它}\mathrm{们}\mathrm{的}\mathrm{和}、\mathrm{差}、\mathrm{积}、\mathrm{商}（\mathrm{除}\mathrm{分}\mathrm{母}\mathrm{为}\mathrm{零}\mathrm{的}\mathrm{点}\mathrm{外}）\mathrm{都}\mathrm{在}\mathrm{点}x\mathrm{具}\mathrm{有}\mathrm{导}\mathrm{数}，\mathrm{且}$

$（1）[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$

$（2）[u(x)\cdot v(x){]}^{\prime }=u(x)v^{\prime }(x)+u^{\prime }(x)v(x)$

$（3）[\frac{u(x)}{v(x)}{]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v(x{)}^2}$

二、反函数的求导法则

$1、\mathrm{定}\mathrm{理}2：\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{函}\mathrm{数}x=f(y)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}{I}_y\mathrm{内}\mathrm{单}\mathrm{调}、\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{且}{f}^{\prime }(y)\ne 0，\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{它}\mathrm{的}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}y=f^{-1}(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}{I}_x=\{x|x=f(y),y\in I_y\}\mathrm{内}\mathrm{也}\mathrm{可}\mathrm{导}，\mathrm{且}$

$$[f^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(f^{\prime }(y))}\mathrm{或}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

$\mathrm{上}\mathrm{述}\mathrm{结}\mathrm{论}\mathrm{可}\mathrm{简}\mathrm{单}\mathrm{地}\mathrm{说}\mathrm{成}：\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{等}\mathrm{于}\mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{倒}\mathrm{数}$

三、复合函数的求导法则

$1、\mathrm{定}\mathrm{理}3：\mathrm{如}\mathrm{果}u=g(x)\mathrm{在}\mathrm{点}x\mathrm{可}\mathrm{导}，\mathrm{而}y=f(u)\mathrm{在}\mathrm{点}u=g(x)\mathrm{可}\mathrm{导}，\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{复}\mathrm{合}\mathrm{函}\mathrm{数}y=f(g(x))\mathrm{在}\mathrm{点}x\mathrm{可}\mathrm{导}，\mathrm{且}\mathrm{其}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{为}$

$$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)\mathrm{或}\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

四、常用导数公式

$（1）(C{)}^{\prime }=0$

$（2）(x^u{)}^{\prime }=\mu x^{u-1}$

$（3）(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$

$（4）(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

$（5）(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$

$（6）(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$

$（7）(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$

$（8）(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$

$（9）(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a(a>0,a\ne 1)$

$（10）(e^x{)}^{\prime }=e^x$

$（11）({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}(a>0,a\ne 1)$

$（12）(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

$（13）(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$（14）(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$（15）(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$

$（16）(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

第三节、高阶导数

$1、\mathrm{表}\mathrm{达}\mathrm{形}\mathrm{式}：$

$（1）\mathrm{二}\mathrm{阶}\mathrm{导}\mathrm{数}：(y^{\prime }{)}^{\prime }=y^{″}=f^{″}(x)=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

$（2）\mathrm{三}\mathrm{阶}\mathrm{导}\mathrm{数}：(y^{″}{)}^{\prime }=y^{‴}=f^{‴}(x)=\frac{d^{3}y}{d{x}^3}$

$（3）\mathrm{四}\mathrm{阶}\mathrm{导}\mathrm{数}：(y^{‴}{)}^{\prime }=y^{(4)}=f^{(4)}(x)=\frac{d^{4}y}{d{x}^4}$

$\dots$

$（4）n\mathrm{阶}\mathrm{导}\mathrm{数}：y^n=f^n(x)=\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$

$\mathrm{二}\mathrm{阶}\mathrm{及}\mathrm{以}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{都}\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{高}\mathrm{阶}\mathrm{导}\mathrm{数}$

$2、n\mathrm{介}\mathrm{导}\mathrm{的}\mathrm{求}\mathrm{导}\mathrm{特}\mathrm{例}$

$（1）y=\frac{1}{ax+b}：y^{(n)}=\frac{(-1{)}^n\cdot n!\cdot a^n}{(ax+b{)}^{n+1}}$

$（1）y=sinx:y^{(n)}=sin(x+n\cdot \frac{\pi }{2})$

$（2）y=cosx:y^{(n)}=cos(x+n\cdot \frac{\pi }{2})$

$（1）y=\frac{1}{ax+b}：y^{(n)}=\frac{(-1{)}^n\cdot n!\cdot a^n}{(ax+b{)}^{n+1}}$

$3、\mathrm{莱}\mathrm{布}\mathrm{尼}\mathrm{茨}\mathrm{公}\mathrm{式}$

$\hspace{4em}（1）(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)} $

$\hspace{4em}（2）(u \cdot v)^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)} $

第四节、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

一、隐函数

$1、\mathrm{隐}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{和}\mathrm{显}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{区}\mathrm{别}：$

$（1）f(x)\to \mathrm{显}\mathrm{函}\mathrm{数}。\mathrm{比}\mathrm{如}y=lnx+\sqrt{1-x^2}$

$（2）f(x,y)=0\to \mathrm{隐}\mathrm{函}\mathrm{数}。\mathrm{比}\mathrm{如}x-y^3-1=0\stackrel{\mathrm{显}\mathrm{化}}{\Rightarrow }y=(1-x{)}^{\frac{1}{3}}$

二、由参数方程所确定的函数的导数

$1、\mathrm{参}\mathrm{数}\mathrm{方}\mathrm{程}：$

$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t)\end{array}$$

$\mathrm{确}\mathrm{定}y\mathrm{与}x\mathrm{之}\mathrm{间}\mathrm{的}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{关}\mathrm{系}，\mathrm{则}\mathrm{称}\mathrm{此}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{关}\mathrm{系}\mathrm{所}\mathrm{表}\mathrm{达}\mathrm{的}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{为}\mathrm{由}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{所}\mathrm{确}\mathrm{定}\mathrm{的}\mathrm{函}\mathrm{数}$

$\mathrm{其}\mathrm{中}\phi (t)\mathrm{和}\psi (t)\mathrm{都}\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{且}{\phi }^{\prime }(t)\mathrm{都}\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{且}{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{都}\mathrm{可}\mathrm{导}$

三、相关变化率

$\mathrm{定}\mathrm{义}：\mathrm{设}x=x(t)\mathrm{及}y=y(t)\mathrm{都}\mathrm{是}\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{而}\mathrm{变}\mathrm{量}x\mathrm{与}y\mathrm{间}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{某}\mathrm{种}\mathrm{关}\mathrm{系}，\mathrm{从}\mathrm{而}\mathrm{变}\mathrm{化}\mathrm{率}\frac{dx}{dt}\mathrm{与}\frac{dy}{dt}\mathrm{也}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{关}\mathrm{系}$

第五节、函数的微分

一、微分的定义

1、函数在某点的微分

$1、\mathrm{定}\mathrm{义}：\mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)\mathrm{在}\mathrm{某}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{有}\mathrm{定}\mathrm{义}，x_0+\mathrm{\Delta }x\mathrm{也}\mathrm{有}\mathrm{定}\mathrm{义}，\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{增}\mathrm{量}\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)\mathrm{若}\mathrm{能}\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{为}$

$$\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$$

$\mathrm{其}\mathrm{中}A\mathrm{是}\mathrm{依}\mathrm{赖}\mathrm{与}\mathrm{\Delta }x\mathrm{的}\mathrm{常}\mathrm{数}，\mathrm{则}\mathrm{称}y=f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{微}，A\mathrm{\Delta }x\mathrm{叫}\mathrm{做}y=f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{相}\mathrm{应}\mathrm{于}\mathrm{自}\mathrm{变}\mathrm{量}\mathrm{增}\mathrm{量}\mathrm{\Delta }x\mathrm{的}\mathrm{微}\mathrm{分}$

2、连续、可导、可微

$（1）\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{必}\mathrm{定}\mathrm{可}\mathrm{微}，\mathrm{可}\mathrm{微}\mathrm{必}\mathrm{定}\mathrm{可}\mathrm{导}$

$（2）\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{必}\mathrm{定}\mathrm{连}\mathrm{续}，\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{可}\mathrm{导}$

$（3）\mathrm{可}\mathrm{微}\mathrm{必}\mathrm{定}\mathrm{连}\mathrm{续}，\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{可}\mathrm{微}$

$（4）\mathrm{证}\mathrm{明}：$

$\mathrm{①}f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{微}\Rightarrow \mathrm{可}\mathrm{导}$

$\hspace{6em}\Delta y = A \Delta x + \omicron(\Delta x) $

$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}A+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{o(\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}=A+0=A$

$\mathrm{②}f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{导}\Rightarrow \mathrm{可}\mathrm{微}$

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=A=A+\alpha ,\alpha \mathrm{为}\mathrm{\Delta }x\to 0\mathrm{时}\mathrm{的}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$

$\hspace{6em}\Rightarrow \Delta y = A \Delta x + \alpha \Delta x \Rightarrow \Delta y = A \Delta x + \omicron(\Delta x) $

$\hspace{6em}y=f(x)在x_0处的微分：dy= A\Delta x =f'(x_0)\Delta x $

$\therefore \mathrm{当}{f}^{\prime }(x_0)\ne 0\mathrm{时}，\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x}{f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x}=1$

$\therefore \mathrm{\Delta }x\to 0\mathrm{时}，\mathrm{\Delta }y\mathrm{和}dy\mathrm{是}\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$

3、函数的微分

$dy=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x$

$\mathrm{例}：$

$\mathrm{①}y=sinx,dy=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x=cosx\mathrm{\Delta }x$

$\mathrm{②}y=e^x,dy=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x=e^x\mathrm{\Delta }x$

$\because \mathrm{自}\mathrm{变}\mathrm{量}\mathrm{增}\mathrm{量}\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{自}\mathrm{身}\mathrm{的}\mathrm{微}\mathrm{分}，\mathrm{\Delta }x=dx$

$\therefore dy=f^{\prime }(x)dx，f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx},\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{别}\mathrm{称}：\mathrm{微}\mathrm{商}$

二、微分的几何意义

$1、\mathrm{几}\mathrm{何}\mathrm{意}\mathrm{义}：$

$（1）\mathrm{以}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{近}\mathrm{似}\mathrm{代}\mathrm{替}\mathrm{曲}\mathrm{线}$

$（2）\mathrm{以}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{近}\mathrm{似}\mathrm{代}\mathrm{替}\mathrm{非}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{函}\mathrm{数}$

三、微分公式及运算法则

1、基本初等函数的微分公式

导数公式	微分公式
$(x^{\mu })=\mu x^{\mu -1}$	$d(x^{\mu })=\mu x^{\mu -1}dx$
$(sinx{)}^{\prime }=cosx$	$d(sinx)=cosxdx$
$(cosx{)}^{\prime }=-sinx$	$ d(cosx)=-sinxdx$
$(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x$	$d(tanx)=se{c}^{2}xdx$
$(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x$	$d(cotx)=-cs{c}^{2}xdx$
$(secx{)}^{\prime }=secx\cdot tanx$	$d(secx)=secx\cdot tanxdx$
$(cscx{)}^{\prime }=-csc\cdot cotx$	$d(cscx)=-csc\cdot cotxdx$
$(a^x{)}^{\prime }=a^x\cdot lna$	$d(a^x)=a^x\cdot lnadx$
$(e^x{)}^{\prime }=e^x$	$d(e^x)=e^{x}dx$
$(lo{g}_a^x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\cdot lna}（a>0\mathrm{且}a\ne 1）$	$d(lo{g}_a^x)=\frac{1}{x\cdot lna}dx（a>0\mathrm{且}a\ne 1）$
$(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$	$d(lnx)=\frac{1}{x}dx$
$(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$d(arcsinx)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
$(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$d(arccosx)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
$(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$	$d(arctanx)=\frac{1}{1+x^2}dx$
$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$	$d(arccotx)=-\frac{1}{1+x^2}dx$

2、运算法则

$（1）\mathrm{四}\mathrm{则}\mathrm{运}\mathrm{算}$

$\mathrm{①}d(u\pm v)=d(u)\pm d(v)$

$\mathrm{②}d(C\cdot u)=C\cdot d(u)$

$\mathrm{③}d(u\cdot v)=vd(u)+ud(v)$

$\mathrm{④}d(\frac{u}{v})=\frac{vd(u)-ud(v)}{v^2}(v\ne 0)$

$（2）\mathrm{复}\mathrm{合}\mathrm{运}\mathrm{算}$

$$dy=f^{\prime }(u)du=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)dx$$

四、近似计算

$1、\mathrm{近}\mathrm{似}\mathrm{计}\mathrm{算}\mathrm{公}\mathrm{式}$

$$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

$2、\mathrm{常}\mathrm{用}\mathrm{等}\mathrm{式}$

$\mathrm{当}{x}_0=0\mathrm{时}：f(x)\approx f(0)+f^{\prime }(0)x$

$\mathrm{①}(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x$

$\mathrm{②}sinx\approx x$

$\mathrm{③}tanx\approx x$

$\mathrm{④}{e}^x\approx 1+x$

$\mathrm{⑤}ln(1+x)\approx x$