第一章、函数与映射

第一节、映射与函数

一、映射

1、映射

$（ 1 ）定义：非空集合 X, Y ，存在一个对应法则 f ，使得 X 中的每一个元素 x 与 Y 中的唯一的确定的元素 y 对应，称 f 为从 X 到 Y 的映射，其中 y$

$称为 x 的像， x 称为 y 的原像$

$（ 2 ）定义域： X ， D_{f}$

$（ 3 ）值域： x 的像构成的集合， R_{f} \subset Y$

2、映射的分类

$（ 1 ）单射： X 中任意两元素的像都不同$

$（ 2 ）满射： Y 中所有元素都是像$

$（ 3 ）双摄（一一映射）：单 + 满$

X中元素不可以剩余，Y中元素可以剩余

二、函数

1、概念

$（ 1 ）定义： D \subset R, f : D \to R ，即为定义在 D 上的函数，记作 y = f (x) ， x \in D 。$

$其中， x ：自变量， y ：因变量， D ：定义域， f (x) 为值域$

$比如： y = 2 x + 1, x \in [1, 2] ，特点： 1 个 x ，对应了确定的，唯一的 y$

$（ 2 ）自然定义域： y = \frac{1}{x - 1} (x \neq 0) ， y = \sqrt{1 - x^{2}} (x \in [- 1, 1])$

$（ 3 ）表示法：表格、图像、解析式$

$（ 4 ）举例：$

$① 绝对值函数：$

y = | x | = {\begin{cases} - x, & x < 0, \\ x, & x \geq 0 \end{cases}

$② s g n 函数（符号函数）：$

y = s g n x = {\begin{cases} - 1, & x < 0, \\ 0, & x = 0, \\ 1, & x > 0 \end{cases}

$③ 取整函数： y = [x] ，取不超过自变量的最大整数$

$④ 狄利克雷函数： y = D (x) = {\begin{cases} 1, x \in Q, \\ 0, x \notin Q \end{cases}$

2、函数特性

$1 、有界性，设 f (x) 在 X 上有定义$

$① 有上界：在 X 上的所有函数值若都小于等于 K_{1} \overset{}{\Leftrightarrow} 有上界$

$（ \forall x \in X ，若 \exists K_{1} ，使得 f (x) \leq K_{1} \overset{}{\Leftrightarrow} 有上界）$

$② \forall x \in X ，若 \exists K_{2} ，使得 f (x) \geq K_{2} \overset{}{\Leftrightarrow} 有下界）$

$③ 有界：有上界 + 有下界$

$\forall x \in X ，若 \exists 正整数 K ，使得 - K \leq f (x) \leq K \overset{}{\Leftrightarrow} 有界）$

$2 、单调性：设 f (x) 在 X 上有定义， \forall x_{1}, x_{2} \in X ，不妨令 x_{1} < x_{2}$

$① 总有 f (x_{1}) < f (x_{2}) \Rightarrow ， f (x) 在 X 上严格单调增加； f (x_{1}) \leq f (x_{2}) \Rightarrow ， f (x) 在 X 上非严格单调增加$

$② 总有 f (x_{1}) > f (x_{2}) \Rightarrow ， f (x) 在 X 上严格单调递减； f (x_{1}) \geq f (x_{2}) \Rightarrow ， f (x) 在 X 上非严格单调递减$

$3 、奇偶性： f (x) 的定义域 D 关于原点对称, \forall x \in D$

$① 若 f (x) = f (- x) \overset{}{\Leftrightarrow} f (x) 偶函数，关于 y 轴对称$

$② 若 f (x) = - f (- x) \overset{}{\Leftrightarrow} f (x) 奇函数，关于原点对称$

$4 、周期性： f (x) 定义域为 D ， \exists l > 0 ， \forall x \in D ，都有 f (x) = f (x + l) \Rightarrow f (x) 是以 l 为周期的周期函数$

$注意：任何正的有理数都是狄利克雷函数的周期$

3、反函数、复合函数、初等函数

$1 、反函数：若某函数是单射，则该函数具有反函数。如：$

y = 2 x + 1 \Rightarrow x = \frac{y - 1}{2} \Rightarrow y = \frac{y - 1}{2}

$注意：$

$① （方程改变函数）关于 y = x 对称$

$② 非单射无反函数$

$2 、复合函数$

$① u = g (x) = x^{2} - 3, x \in [2, 3]$

$② y = f (u) = 2 u + 4, u \in [1, 8]$

$y = f (g (x)) = (f \circ g) (x) = 2 (x^{2} - 3) + 4 = 2 x^{2} - 2, x \in [2, 3]$

$注意：内层的值域是外层函数定义域的子集$

$3 、初等函数$

$（ 1 ）基本初等函数$

$① 常数函数： y = f (x) = C$

$② 幂函数： y = x^{u} \Rightarrow u = x^{2} ， u \in R$

$③ 指数函数： y = a^{x} （ a > 0 且 a \neq 1 ）$

$④ 指数函数： y = l o g_{a}^{x} （ a > 0 且 a \neq 1 ）$

$⑤ 三角函数 / 反三角函数： y = s i n x 、 y = c o s x 、 y = t a n x 、 y = a r c s i n x 、 y = a r c c o s x 、 y = a r c t a n x$

$（ 2 ）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所构成并且可用一个式子表示的函数，如：$

y = \sqrt{1 - x^{2}}

$性质：初等函数在定义区间上连续$

第二节、数列的极限

一、数列极限的定义

$1 、数列 X_{n} : x_{1}, x_{2}, x_{3} . . ., x_{n}, x_{n + 1}, . . . 。是特殊的函数，自变量为正整数（下标）$

$2 、定义： \forall ϵ > 0, \exists N \in N_{+} ，当 n > N 时，总有 | x_{n} - a | < ϵ \Leftrightarrow lim_{n \to \infty} X_{n} = a$

$（ 1 ） X_{n} 极限为 a ，又称 X_{n} 收敛于 a$

$（ 2 ）若数列不收敛于任何数，则无极限，发散$

二、收敛数列的性质

1、唯一性

$1 、定理：数列收敛则极限必唯一$

$2 、反证法： x_{n} 收敛于 a 和 b ，则$

$\forall ϵ > 0, \exists N_{1} \in N_{+} ，当 n > N 时，总有 | x_{n} - a | < ϵ,$

$\hspace{8em}\forall \epsilon>0,\exists N_2 \in N_+，当n>N时，总有|x_n-b|<\epsilon $

$当 ϵ = \frac{b - a}{2} 时， n \to \infty ，总有 | x_{n} - a | < \frac{b - a}{2} \Leftrightarrow \frac{3 a - b}{2} < x_{n} < \frac{a + b}{2},$

$当 ϵ = \frac{b - a}{2} 时， n \to \infty ，总有 | x_{n} - b | < \frac{b - a}{2} \Leftrightarrow \frac{a + b}{2} < x_{n} < \frac{3 b - a}{2},$

$由于 \frac{3 a - b}{2} < x_{n} < \frac{a + b}{2} 和 \frac{a + b}{2} < x_{n} < \frac{3 b - a}{2} 同时成立，$

$意味着 x_{n} 同时小于 \frac{a + b}{2} 和大于 \frac{a + b}{2} ，这是不可能的，因此，假设不成立，即数列 X_{n} 的极限是唯一的$

$证毕$

2、有界性

$1 、定理：收敛数列必有界$

$2 、数列收敛，发散，有界和无界的关系$

$（ 1 ）收敛 \Rightarrow 有界收敛 ⇍ 有界$

$（ 2 ）发散 ⇏ 无界发散 ⇍ 无界$

3、保号性

$1 、定理：已知 lim_{n \to \infty} x_{n} = a ，若 a > 0 （或 a < 0 ），则 \exists N \in N_{+} ，当 n > N 时，总有 x_{n} > 0 （或 x_{n} < 0 ）$

$证明： \forall ϵ > 0, \exists N \in N_{+} ，当 n > N 时，总有 | x_{n} - a | < ϵ \Leftrightarrow a - ϵ < x_{n} < a + ϵ$

$取 ϵ = \frac{a}{2} ， \exists N \in N_{+} ，当 n > N 时，总有 | x_{n} - a | < \frac{a}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{2} - a < x_{n} < \frac{3 a}{2}$

$∴ ， \forall N \in N_{+} ，当 n > N 时，总有 x_{n} > 0$

$证毕$

$2 、推论：已知 lim_{n \to \infty} x_{n} = a ，如果 \exists N \in N_{+} ，当 n > N 时，总有 x_{n} \geq 0 （或 x_{n} \leq 0 ），则 a \geq 0 （或 a \leq 0 ）$

$证明：$

$同条件下，设 a < 0 \Rightarrow \exists N \in N_{+} ，当 n > N 时，总有 x_{n} < 0 （保号性）$

$矛盾出现， ∴ a \geq 0$

4、收敛数列与其子数列间的关系

$1 、定理：如果数列 x_{n} 收敛于 a ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 a$

第三节、函数的极限

一、函数极限定义

1、自变量x趋于无穷大时

$1 、 x \to \infty 时， f (x) 在 (t, + \infty) 上有定义， \forall ϵ > 0, \exists X > 0 ，当 x > X 时，总有 | f (x) - A | < ϵ \Leftrightarrow lim_{x \to \infty} f (x) = A$

$这时， y = A 是 f (x) 当 x \to \infty 时侯的水平渐近线（右渐近线）$

$2 、 x \to - \infty 时， f (x) 在 (- \infty, m) 上有定义， \forall ϵ > 0, \exists X > 0 ，当 x < - X 时，总有 | f (x) - A | < ϵ \Leftrightarrow lim_{x \to - \infty} f (x) = A$

$这时， y = A 是 f (x) 当 x \to - \infty 时侯的水平渐近线（左渐近线）$

$3 、 x \to \infty 时， f (x) 在 (- \infty, m) \cup (t, + \infty) 上有定义， \forall ϵ > 0, \exists X > 0 ，当 | x | > X 时，总有 | f (x) - A | < ϵ \Leftrightarrow lim_{x \to \infty} f (x) = A$

$这时， y = A 是 f (x) 当 x \to \infty 时侯的水平渐近线（可能左右渐近线为同一条渐近线）$

2、自变量趋于 $x_{0}$ 时

$1 、邻域： (x_{0} - δ, x_{0} + δ) ， x_{0} 的 δ 邻域，记作 \overset{}{U} (x_{0}, δ)$

\begin{array}{ccccccccccc} x_{0} - δ & x_{0} & x_{0} + δ \end{array}

$2 、去心邻域： (x_{0} - δ, x_{0} + δ) ， x_{0} 的去心 δ 邻域，记作 \overset{\circ}{U} (x_{0}, δ)$

\begin{array}{ccccccccccc} x_{0} - δ & x_{0} & x_{0} + δ \end{array}

$3 、 x \to x_{0} (x \to x_{0}^{-} 且 x \to x_{0}^{+}) ，趋近的过程，保证 f (x) 在 \overset{\circ}{U} (x_{0}, δ) 有定义$

$4 、定义： \forall ϵ > 0, \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，总有 | f (x) - A | < ϵ \Leftrightarrow lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$

$5 、右极限： \forall ϵ > 0, \exists δ > 0 ，当 0 < x - x_{0} < δ 时，总有 | f (x) - A | < ϵ \Leftrightarrow lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = A$

$6 、左极限： \forall ϵ > 0, \exists δ > 0 ，当 0 < x_{0} - x < δ 时，总有 | f (x) - A | < ϵ \Leftrightarrow lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = A$

$\hspace{2em}7、注意：函数若存在左极限和右极限，需满足\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A\Leftrightarrow f(x_0^+)=f(x_0^-)=A，函数极限才存在 $

二、函数极限的性质

1、唯一性

$定理：如果 lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在，那么这极限唯一$

2、局部有界性

$定理：若 lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \Rightarrow \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，总有 | f (x) - A | \leq M ，其中 M 为正数$

$证：$

$\forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，总有 | f (x) - A | < ϵ 。$

$取 ϵ = 1 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，总有 | f (x) - A | < 1 ， | f (x) | = | f (x) - A + A | \leq | f (x) - A | + | A | < 1 + | A | \overset{令}{=} M$

$∴ \exists M > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，总有 | f (x) - A | \leq M$

3、局部保号性

$1 、定理 ① ：已知 lim_{x \to x_{0}} f (x) = A, 若 A > 0 (或 A < 0) \Rightarrow \exists δ > 0, 当 0 < | x - x_{0} | < δ 时, 总有 f (x) > 0 （或 f (x) < 0 ）$

$证：$

$若 A > 0 \Rightarrow 取 ϵ = \frac{A}{2} ， \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，有 | f (x) - A | < \frac{A}{2}$

即 0 < \frac{A}{2} < f (x) < \frac{3 A}{2}

$∴ f (x) > 0$

$若 A < 0 \Rightarrow 取 ϵ = - \frac{A}{2} ， \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，有 | f (x) - A | < - \frac{A}{2}$

即 \frac{3 A}{2} < f (x) < \frac{A}{2} < 0

$∴ f (x) < 0$

$2 、定理 ② ：已知 lim_{x \to x_{0}} f (x) = A, 若 A \neq 0 \Rightarrow \exists δ > 0, 当 0 < | x - x_{0} | < δ 时, 总有 | f (x) | > \frac{| A |}{2}$

$证：$

$若 A > 0 \Rightarrow 取 ϵ = \frac{A}{2} ， \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，有 | f (x) - A | < \frac{A}{2} ，即 \frac{A}{2} < f (x) < \frac{3 A}{2}$

$∴ | f (x) | > \frac{| A |}{2}$

$若 A < 0 \Rightarrow 取 ϵ = - \frac{A}{2} ， \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，有 | f (x) - A | < - \frac{A}{2} ，即 \frac{3 A}{2} < f (x) < \frac{A}{2}$

$∴ | f (x) | > \frac{| A |}{2}$

$3 、推论：$

$（ 1 ）已知 lim_{x \to x_{0}} f (x) = A, 若在 x_{0} 的去心邻域内 f (x) \geq 0 \Rightarrow A \geq 0$

$证：$

$若取 A < 0 ，则 \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，有 | f (x) - A | < ϵ ，即 \frac{3 A}{2} < f (x) < \frac{A}{2}$

$∵ A < 0 ，取 ϵ = - \frac{A}{2}$

$\hspace{6em}\therefore \frac{3A}{2} \lt 0 且\frac{A}{2} \lt 0，f(x) \lt 0，与题设条件在x_0的去心邻域内f(x)\geq 0条件冲突，故A\geq 0 $

$（ 2 ）已知 lim_{x \to x_{0}} f (x) = A, 若在 x_{0} 的去心邻域内 f (x) \leq 0 \Rightarrow A \leq 0$

$证：$

$若取 A > 0 ，则 \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，有 | f (x) - A | < ϵ ，即 \frac{A}{2} < f (x) < \frac{3 A}{2}$

$∵ A > 0 ，取 ϵ = \frac{A}{2}$

$\hspace{6em}\therefore \frac{A}{2} \lt 0 \frac{3A}{2} \lt 0，f(x) \lt 0，与题设条件在x_0的去心邻域内f(x)\geq 0条件冲突，故A\leq 0 $

4、函数极限与数列极限的关系

$若 lim_{x \to x_{0}} f (x) = A (①) ， {X_{n}} 为函数 f (x) 定义域内的任一收敛于 x_{0} 的数列 (②) ，且满足 x_{n} \neq x_{0} （ n \in N_{+} ） (③) ，则 {f (x_{n})} 也必收敛于 A$

$证：$

$① \Rightarrow \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，总有 | f (x) - A | < ϵ ，即当 0 < | x_{n} - x_{0} | < δ 时，总有 | f (x_{n}) - A | < ϵ$

$② ③ \Rightarrow \forall η > 0 ， \exists N \in N_{+} ，当 n > N 时， 0 < | x_{n} - x_{0} | < η$

$取 η = δ > 0 ， \exists N \in N_{+} ，当 n > N 时，总有 0 < | x_{n} - x_{0} | < δ ，总有 | f (x) - A | < ϵ$

$∴ \forall ϵ > 0 ， \exists N \in N_{+} ，总有 | f (x_{n}) - A | < ϵ$

第四节、无穷小与无穷大

一、无穷小

$1 、定义：$

$（ 1 ）当 x \to x_{0} 时 (或 x \to \infty 时) ，函数 f (x) 的极限为 0 ，则称 f (x) 为 x \to x_{0} (x \to \infty) 时的无穷小。$

$（ 2 ）以 0 为极限的数列 {X_{n}} 称为 n \to \infty 时的无穷小。$

$（ 3 ） \forall ϵ > 0, \exists α > 0, 当 0 < | x - x_{0} | < α 时, 总有 | f (x) - 0 | < ϵ \overset{}{\Leftrightarrow} lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} 无穷小$

$（ 4 ） \forall ϵ > 0, \exists X > 0, 当 | x | < X 时, 总有 | f (x) - 0 | < ϵ \overset{}{\Leftrightarrow} lim_{x \to \infty} f (x) = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} 无穷小$

$（ 5 ） \forall ϵ > 0, \exists N \in N_{+}, 当 n > N 时, 总有 | x_{n} - 0 | < ϵ \overset{}{\Leftrightarrow} lim_{n \to \infty} x_{n} = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} 无穷小$

$2 、定理 ① ： x \to x_{0} 时， lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \overset{充分必要}{\Leftrightarrow} f (x) = A + α ， α 为 x \to x_{0} 或 (x \to \infty) 时的无穷小$

$证：$

$f (x) = A + α \Rightarrow 设 α = f (x) - A$

$必要性：$

$∵ lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \Rightarrow \forall ϵ > 0 ， \exists α > 0, 当 0 < | x - x_{0} | < α, 时, 总有 | f (x) - A | < ϵ \Rightarrow \forall ϵ > 0, \exists α > 0, 当 0 < | x - x_{0} | < α 时,$

$总有 | α - 0 | < ϵ$

$∴ lim_{x \to x_{0}} α = 0 \Rightarrow α 为 x \to x_{0} 时的无穷小$

$∴ f (x) - A = α \Rightarrow α 为 x \to x_{0} 时的无穷小$

$∴ f (x) = A + α \Rightarrow α 为 x \to x_{0} 时的无穷小$

$充分性：$

$∵ f (x) = A + α ， α 为 x \to x_{0} 或 (x \to \infty) 时的无穷小$

$∴ lim_{x \to x_{0}} α = 0 \Rightarrow \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，有 | α - 0 | < ϵ \Rightarrow \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，$

$有 | f (x) - A - 0 | < ϵ$

$∴ lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$

二、无穷大

$1 、定义：$

$（ 1 ） \forall M > 0, \exists ϵ > 0, 当 0 < | x - x_{0} | < ϵ 时, 总有 | f (x) | > M \overset{}{\Leftrightarrow} lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty \overset{}{\Leftrightarrow} 无穷大$

$（ 2 ） \forall M > 0, \exists X > 0, 当 | x | > X 时, 总有 | f (x) | > M \overset{}{\Leftrightarrow} lim_{x \to \infty} f (x) = \infty \overset{}{\Leftrightarrow} 无穷大$

$（ 3 ） \forall M > 0, \exists N \in N_{+}, 当 n > N 时, 总有 | x_{n} | > M \overset{}{\Leftrightarrow} lim_{x \to \infty} x_{n} = \infty \overset{}{\Leftrightarrow} 无穷大$

$2 、铅直渐近线：$

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty \Rightarrow x = x_{0} 为 f (x) 的铅直渐近线 {\begin{cases} 0 条, \\ 1 条, \\ 多条 \end{cases}$

$3 、定理 ② ：$

$（ 1 ） x \to x_{0} (x \to \infty) 时， f (x) 为无穷大 \Rightarrow \frac{1}{f (x)} 为无穷小$

$（ 2 ） x \to x_{0} (x \to \infty) 时， f (x) 为无穷小且 f (x) \neq 0 \Rightarrow \frac{1}{f (x)} 为无穷大$

第五节、极限运算法则

一、定理1

$1 、定理 ① ：两个无穷小的和为无穷小$

$证：$

lim_{x \to x_{0}} g (x) = 0 ， lim_{x \to x_{0}} h (x) = 0 \Rightarrow lim_{x \to x_{0}} (g (x) + h (x)) = 0

$即证， \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时， | g (x) + h (x) - 0 | < ϵ$

$∵ lim_{x \to x_{0}} g (x) = 0 \Rightarrow \forall ϵ_{1} > 0 ， \exists δ_{1} > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ_{1} 时，总有 | g (x) | < ϵ_{1}$

$取 δ_{1} = \frac{ϵ}{2} ， \forall ϵ_{1} > 0 ， \exists δ_{1} = \frac{ϵ}{2} > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ_{1} 时，总有 | g (x) | < ϵ_{1}$

$又 ∵ lim_{x \to x_{0}} h (x) = 0 \Rightarrow \forall ϵ_{2} > 0 ， \exists δ_{2} > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ_{2} 时，总有 | h (x) | < ϵ_{2}$

$取 δ_{2} = \frac{ϵ}{2} ， \forall ϵ_{2} > 0 ， \exists δ_{2} = \frac{ϵ}{2} > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ_{2} 时，总有 | g (x) | < ϵ_{2}$

$∴ 取 δ = m i n {δ_{1}, δ_{2}} > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，总有 | g (x) + h (x) | \leq | g (x) | + | h (x) | < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ$

$∴ | g (x) + h (x) - 0 | < ϵ$

$∴ \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，有 | g (x) + h (x) - 0 | < ϵ$

$∴ lim_{x \to x_{0}} (g (x) + h (x)) = 0$

$∴ g (x) + h (x) 为 x \to x_{0} 时的无穷小$

注意：不能反推，例如

$g (x) = 4, lim_{x \to x_{0}} g (x) = 4$

$h (x) = - 4, lim_{x \to x_{0}} h (x) = - 4$

$lim_{x \to x_{0}} g (x) + h (x) = 0$

2、扩展：有限个无穷小的和依旧是无穷小

二、定理2

$1 、定理 ② ：有界函数与无穷小的乘积为无穷小$

$分析：$ $g (x) 在 \overset{\circ}{U} (x, δ_{1}) 内有界， h (x) 是 x \to x_{0} 时的无穷小，证 g (x) \cdot h (x) 为 x \to x_{0} 时的无穷小$

$即证， \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时， | g (x) \cdot h (x) - 0 | < ϵ$

$证：$ $\forall ϵ > 0 ， x \in \overset{\circ}{U} (x_{0}, δ_{1}) ， \exists M > 0 ，使得 | g (x) | <= M$

$又 ∵ lim_{x \to x_{0}} h (x) = 0 \Rightarrow \forall η > 0 ， \exists δ_{2} > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ_{2} 时，总有 | h (x) - 0 | < η$

$取 η = \frac{ϵ}{M} ， \forall η = \frac{ϵ}{M} > 0 ， \exists δ_{2} > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ_{2} 时，总有 | h (x) | < η$

$∴ 取 δ = m i n {δ_{1}, δ_{2}} > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，有 | g (x) | \cdot | h (x) | < \frac{ϵ}{M} \cdot M = ϵ$

$∴ \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，有 | g (x) | \cdot | h (x) | = | g (x) \cdot h (x) - 0 | < ϵ$

$∴ lim_{x \to x_{0}} (g (x) \cdot h (x)) = 0$

$∴ g (x) \cdot h (x) 为 x \to x_{0} 时的无穷小$

$2 、推论：$

$（ 1 ）推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小$

$（ 2 ）推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小$

三、定理3

$1 、定理 ③ ：$

$如果 lim f (x) = A, lim g (x) = B, 那么$

$(1) lim [f (x) \pm g (x)] = lim f (x) \pm lim g (x) = A \pm B;$

$(2) lim [f (x) \cdot g (x)] = lim f (x) \cdot lim g (x) = A \cdot B;$

$(3) 若有 B \neq 0, 则 lim \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim f (x)}{lim g (x)} = \frac{A}{B}$

$2 、推论：$

$（ 1 ）推论 1 若 lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在， C 为常数，则 lim_{x \to x_{0}} C \cdot f (x) = C \cdot lim_{x \to x_{0}} f (x)$

$（ 2 ）推论 2 若 lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在， n 为正整数，则 lim_{x \to x_{0}} f (x)^{n} = [lim_{x \to x_{0}} f (x)]^{n}$

四、定理4

$1 、定理 ④ ：$

$有数列 {X_{n}} 和 {Y_{n}} ，若 lim_{x \to x_{0}} X_{n} = A, lim_{x \to x_{0}} Y_{n} = B$

$(1) lim_{n \to \infty} (X_{n} \pm Y_{n}) = A \pm B;$

$(2) lim_{n \to \infty} (X_{n} \cdot Y_{n}) = A \cdot B;$

$(3) 当 y_{n} \neq 0 （ n = 1, 2, 3, . . . . ）, 且 B \neq 0 时，则 lim_{n \to \infty} \frac{X_{n}}{Y_{n}} = \frac{A}{B}$

$2 、推论：$

lim_{x \to \infty} \frac{a_{0} x^{m} + a_{1} x^{m - 1} + . . . + a_{m}}{b_{0} x^{n} + b_{1} x^{n - 1} + . . . + b_{n}} = {\begin{cases} 0 ， 当 n > m ， \\ \frac{a_{0}}{b_{0}} ， 当 n = m ， (a_{0} \neq 0 ， b \neq 0 ， m 和 n 为 非 负 整 数) \\ \infty ， 当 n < m . \end{cases}

五、定理5

$1 、定理 ⑤ ：$ $若 lim_{x \to x_{0}} φ (x) = A ， lim_{x \to x_{0}} ψ (x) = B 且 φ (x) \geq ψ (x), 则 A \geq B$

$证：$

$∵ f (x) = φ (x) - ψ (x) \geq 0$

$∴ lim_{x \to x_{0}} f (x) = lim_{x \to x_{0}} [φ (x) - ψ (x)] = lim_{x \to x_{0}} φ (x) - lim_{x \to x_{0}} ψ (x) = A - B \geq 0 \Rightarrow A \geq B$

六、定理6

$1 、定理 ⑥ ： (复合函数的极限运算法则)$

$设函数 y = f [g (x)] 是由函数 u = g (x) 与函数 y = f (u) 复合而成， f [g (x)] 在点 x_{0} 的某去心邻域内有定义，$

$若 lim_{x \to x_{0}} g (x) = u_{0} (①) ， lim_{u \to u_{0}} f (u) = A (②) ，且存在 δ_{0} > 0 ，当 x \in \overset{\circ}{U} (x_{0}, δ_{0}) 时，有 g (x) \neq u_{0} (③) ，则$

lim_{x \to x_{0}} f [g (x)] = lim_{u \to u_{0}} f (u) = A

$证：$

$② \overset{}{\Leftrightarrow} \forall ϵ > 0 ， \exists δ_{1} > 0 ，当 0 < | u - u_{0} | < δ_{1} 时，总有 | f (u) - A | < ϵ$

$即， 0 < | g (x) - u_{0} | < δ_{1} ，总有 | f [g (x)] - A | < ϵ$

$① \overset{}{\Leftrightarrow} \forall η > 0 ， \exists δ_{2} > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ_{2} 时，总有 | g (x) - u_{0} | < η$

$\Rightarrow η = δ_{1} > 0 ， \exists δ_{2} > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ_{2} 时，总有 | g (x) - u_{0} | < δ_{1}$

$③ \Rightarrow 当 0 < | x - x_{0} | < δ_{0} 时，有 g (x) \neq u_{0}$

$取 δ = m i n {δ_{0}, δ_{2}} > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时 \Rightarrow 0 < | g (x) - u_{0} | < δ_{1}$

$∴ \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 0 < | x - x_{0} | < δ 时，总有 | f [g (x)] - A | < ϵ$

第六节、极限存在准则两个重要极限

一、夹逼准则

1、数列极限存在准则

$如果数列 {x_{n}} ， {y_{n}} 及 {z_{n}} 都满足下列条件：$

$（ 1 ）从某项起，即 \exists n_{0} \in N^{+} ，当 n > n_{0} 时，有$

y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n}

$（ 2 ） lim_{n \to \infty} y_{n} = a ， lim_{n \to \infty} z_{n} = a$

那 么 数 列 {x_{n}} 的 极 限 存 在 ， 且 lim_{n \to \infty} x_{n} = a

$证：$

$\forall ϵ > 0$

$lim_{n \to \infty} y_{n} = a \Rightarrow \exists N_{1} \in N^{+}, 当 n > N_{1} 时, | y_{n} - a | < ϵ$

$∴ a - ε < y_{n} < a + ε$

$lim_{n \to \infty} z_{n} = a \Rightarrow \exists N_{2} \in N^{+}, \exists n > N_{2} 时, | z_{n} - a | < ε$

$∴ a - ε < z_{n} < a + ε$

$取 N_{3} = max {N_{1}, N_{2}}, 当 n > N_{3} 时, 有 a - ϵ < y_{n} < a + ϵ 且 a - ϵ < z_{n} < a + ϵ$

$又当 n > N_{0} 时，有 y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n}$

$取 N = max {N_{0}, N_{3}}, 当 n > N 时, 有 a - ϵ < x_{n} < a + ϵ$

$∴ - ϵ < x_{n} - a < ϵ$

$∴ | x_{n} - a | < ϵ$

$∴ \forall ε > 0, \exists N \in N^{+}, 当 n > N 时, 有 | x_{n} - a | < 0$

2、函数极限存在准则

$如果$

$（ 1 ）当 x \in \overset{\circ}{U} (x_{0}, r) （或 | x | > M ）时， g (x) \leq f (x) \leq h (x)$

$（ 2 ） lim_{\begin{matrix} x \to x_{0} \\ (x \to \infty) \end{matrix}} g (x) = A ， lim_{\begin{matrix} x \to x_{0} \\ (x \to \infty) \end{matrix}} h (x) = A$

那 么 lim_{\begin{matrix} x \to x_{0} \\ (x \to \infty) \end{matrix}} f (x) 存 在 ， 且 等 于 A

二、 $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$

$证：$ $如图：$

{\begin{cases} s i n x = \frac{B C}{B O} = B C \\ t a n x = \frac{A D}{A O} = A D \\ \overset{⌢}{A B} = x \cdot r = x \end{cases}

$∵ S_{三角形 A O B} < S_{扇形 A O B} < S_{三角形 A O D}$

$∴ \frac{1}{2} A O \cdot B C < \frac{1}{2} \overset{⌢}{A B} \cdot r < \frac{1}{2} A O \cdot A D$

$∴ B C < \overset{⌢}{A B} < A D$

$∴ s i n x < x < t a n x$

$又 ∴ 在 x \in (0, \frac{π}{2}) 中， s i n x > 0$

$\hspace{4em}\therefore 1 < \frac{x}{sinx} < \frac{1}{cosx} $

$\hspace{4em}\therefore cosx <\frac{sinx}{x} < 1 $

$由夹逼定理得：$

当 x \to 0 时 ， lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1

三、单调有界准则

1、单调有界数列必有极限

$1 、定义$

$（ 1 ）如果数列 {x_{n}} 满足条件$

x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3} \leq \dots \leq x_{n} \leq x_{n + 1} \leq \dots,

$就称数列 {x_{n}} 是单调增加的；$

$（ 2 ）如果数列 {x_{n}} 满足条件$

x_{1} \geq x_{2} \geq x_{3} \geq \dots \geq x_{n} \geq x_{n + 1} \geq \dots,

$就称数列 {x_{n}} 是单调减少的 .$

$2 、单调增加和单调减少的数列统称为单调数列$

$3 、单调增，有上界 \Rightarrow 必有极限$

$4 、单调减，有下界 \Rightarrow 必有极限$

2、单调有界函数必有极限

$设函数 f (x) 在点 x_{0} 的某个左邻域内单调并且有界, 则 f (x) 在 x_{0} 的左极限 f (x_{0}^{-}) 必定存在$

四、 $lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$

第二种重要极限的三种变形

$1 、 lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^{x} = \frac{1}{e}$

$证：$

$令 t = - x ， ∵ x \to \infty ， - x \to \infty ∴ t \to \infty$

$∴ 原式 = lim_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t})^{- t} = \frac{1}{e}$

$2 、 lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

$证：$

$令 t = \frac{1}{x} ， ∵ x \to 0 ∴ t \to \infty$

$∴ 原式 = lim_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t})^{t} = e$

$3 、 lim_{x \to 0} (1 - x)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{e}$

$证：$

$令 t = - \frac{1}{x} ， ∵ x \to 0 ∴ \frac{1}{x} \to \infty ∴ - \frac{1}{x} \to \infty ∴ t \to \infty$

$∴ 原式 = lim_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t})^{- t} = \frac{1}{e}$

五、柯西极限存在准则

$柯西极限存在准则：数列 {x_{n}} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ϵ ，存在一个正整数 N ，使得当 m > N ， n > N 时，有$

| x_{n} - x_{m} | < ϵ

$证：$

$lim_{n \to \infty} x_{n} = a \Leftrightarrow \forall ϵ > 0, \exists N \in N^{+}, 当 n > N 时，有 | x_{n} - a | < {\frac{ϵ}{2}}^{①} ； \forall ϵ > 0, \exists M \in N^{+}, 当 m > N 时，有 | x_{m} - a | < {\frac{ϵ}{2}}^{②}$

$\Rightarrow \forall ϵ > 0, \exists N \in N^{+}, 当 n > N 且 m > N 时， ① ② 都成立$

$\Rightarrow \forall ϵ > 0, \exists N \in N^{+} ， | x_{n} - x_{m} | \leq | x_{n} - a | + | x_{m} - a | < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ$

$\Rightarrow \forall ϵ > 0, \exists N \in N^{+} ，当 n > N 且 m > N 时， | x_{n} - x_{m} | < ϵ$

第七节、无穷小的比较（比阶）

一、定义

$1 、 lim \frac{β}{α} = 0 ，则称为 β 是 α 的高阶无穷小，记作 β = ο (α)$

$2 、 lim \frac{β}{α} = \infty ，则称为 β 是 α 的低阶无穷小，记作 β = Ω (α)$

$3 、 lim \frac{β}{α} = C \neq 0 ，则称为 β 与 α 是同阶无穷小$

$4 、 lim \frac{β}{α^{k}} = C \neq 0 ， k > 0 ，则称为 β 是关于 α 是 k 阶无穷小，记作 β = O (α^{k})$

$5 、 lim \frac{β}{α} = 1 ，则称为 β 与 α 是等价无穷小，记作 β \sim α$

$例：证明：当 x \to 0 时， \sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{n} x$

$证：$

$证当 x \to 0 时， \sqrt[n]{1 + x} \sim \frac{1}{n} x ，即证 lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1 + x} - 1}{\frac{1}{n} x} = 1$

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1 + x} - 1}{\frac{1}{n} x} = lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt[n]{1 + x} - 1) (\sqrt[n]{(1 + x)^{n - 1}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 2}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 3}} + \dots + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - (n - 1)}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{0}})}{\frac{1}{n} x \cdot (\sqrt[n]{(1 + x)^{n - 1}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 2}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 3}} + \dots + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - (n - 1)}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{0}})}$

$= lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{n}} \cdot (1 + x)^{\frac{n - 1}{n}} + (1 + x)^{\frac{1}{n}} \cdot (1 + x)^{\frac{n - 2}{n}} + (1 + x)^{\frac{1}{n}} \cdot (1 + x)^{\frac{n - 3}{n}} + \dots + (1 + x)^{\frac{1}{n}} \cdot (1 + x)^{\frac{n - (n - 1)}{n}} + (1 + x)^{\frac{1}{n}} \cdot (1 + x)^{0} - (1 + x)^{\frac{n - 1}{n}} - (1 + x)^{\frac{n - 2}{n}} - (1 + x)^{\frac{n - 3}{n}} - \dots - (1 + x)^{\frac{n - (n - 1)}{n}} - (1 + x)^{\frac{0}{n}}}{\frac{1}{n} x \cdot (\sqrt[n]{(1 + x)^{n - 1}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 2}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 3}} + \dots + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - (n - 1)}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{0}})}$

$= lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{1} + (1 + x)^{\frac{n - 1}{n}} + (1 + x)^{\frac{n - 2}{n}} + (1 + x)^{\frac{n - 3}{n}} + \dots + (1 + x)^{\frac{1}{n}} - (1 + x)^{\frac{n - 1}{n}} - (1 + x)^{\frac{n - 2}{n}} - \dots - 1}{\frac{1}{n} x \cdot (\sqrt[n]{(1 + x)^{n - 1}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 2}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 3}} + \dots + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - (n - 1)}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{0}})}$

$= lim_{x \to 0} \frac{x}{\frac{1}{n} x \cdot (\sqrt[n]{(1 + x)^{n - 1}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 2}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 3}} + \dots + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - (n - 1)}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{0}})}$

$= lim_{x \to 0} \frac{n}{\sqrt[n]{(1 + x)^{n - 1}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 2}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 3}} + \dots + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - (n - 1)}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{0}}}$

$= \frac{n}{n \cdot 1}$

$= 1$

$∴ x \to 0 时， \sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{n} x$

二、定理

$1 、定理 1 ： β 与 α 是等价无穷小 \overset{充分必要条件}{\Leftrightarrow} β = α + ο (α)$

$证：$

$必要性：$

$已知 α \sim β ， lim \frac{β - α}{α} = lim (\frac{β}{α}) - 1 = 0$

$∴ β - α 是 α 的高阶无穷小， β - α = ο (α)$

$∴ β = α + ο (α)$

$充分性：$

$已知 β = α + ο (α) ， lim \frac{β}{α} = lim \frac{α + ο (α)}{α} = lim \frac{α}{α} + lim \frac{ο (α)}{α} = 1 + 0 = 1$

$∴ β \sim α$

$2 、定理 2 ：设 α \sim \tilde{α} ， β \sim \tilde{β} ，且 lim \frac{\tilde{β}}{\tilde{α}} ， lim \frac{β}{α} = lim \frac{\tilde{β}}{\tilde{α}}$

$证：$

$lim \frac{β}{α} = lim (\frac{β}{\tilde{β}} \cdot \frac{\tilde{β}}{\tilde{α}} \cdot \frac{α}{\tilde{α}})$

$= lim \frac{β}{\tilde{β}} \cdot lim \frac{\tilde{β}}{\tilde{α}} \cdot lim \frac{α}{\tilde{α}}$

$= 1 \cdot lim \frac{\tilde{β}}{\tilde{α}} \cdot 1$

$= lim \frac{\tilde{β}}{\tilde{α}}$

三、扩展

$等价无穷小：$

$（ 1 ） l n (1 + x) \sim x (x \to 0)$

$（ 2 ） e^{x} - 1 \sim x (x \to 0)$

$（ 3 ） (1 + x)^{α} - 1 \sim α x (x \to 0)$

$（ 4 ） 1 - c o s x \sim \frac{1}{2 x^{2}} (x \to 0)$

$（ 5 ） t a n x \sim x (x \to 0)$

$（ 6 ） a r c s i n x \sim x (x \to 0)$

$（ 7 ） s i n x \sim x (x \to 0)$

$（ 8 ） a r c t a n x \sim x (x \to 0)$

$（ 9 ） s e c x - 1 \sim \frac{1}{x^{2}} (x \to 0)$

$（ 10 ） \sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{n} x (x \to 0)$

$注意：等价无穷小之间的替换，只能用于乘除，不能用于加减$

第八节、函数的连续性与间断性

一、函数的连续性

1、增量

$设变量 u 从它的一个初值 u_{1} 变到终值 u_{2} ，终值与初值的差 u_{2} - u_{1} ，就叫做变量 u 的增量，记作 Δ u$

Δ u = u_{2} - u_{1}

$当自变量 x 在 x = x_{0} 处的某邻域内有定义$

$x \Rightarrow x_{0} + Δ x \Rightarrow Δ x$

$y \Rightarrow f (x_{0} + Δ x) \Rightarrow Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$

即 ， Δ = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})

2、定义

$x = x_{0} 处的邻域内有定义（前提）$

$（ 1 ）若 lim_{Δ \to 0} Δ y = 0 = lim_{Δ \to 0} [f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})] ，则称函数 y = f (x) 在 x = x_{0} 处连续$

$（ 2 ）若 lim_{x \to x_{0}} = 0 = lim_{Δ \to 0} [f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})] ，则称函数 y = f (x) 在 x = x_{0} 处连续$

$（ 3 ）若 \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 | x - x_{0} | < ϵ 时，有 | f (x) - f (x_{0}) | < ϵ \overset{}{\Leftrightarrow} f (x) 在 x = x_{0} 处连续$

3、左连续和右连续

$（ 1 ）左连续： lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}) \overset{}{\Leftrightarrow} f (x) 在 x = x_{0} 处左连续$

$（ 2 ）右连续： lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = f (x_{0}^{+}) = f (x_{0}) \overset{}{\Leftrightarrow} f (x) 在 x = x_{0} 处右连续$

4、连续函数

$（ 1 ） f (x) 在某区间上的每个点都连续，称 f (x) 为该区间的连续函数$

$（ 2 ）若区间为闭区间， f (x) 在非端点上连续，且在左端点右连续且右端点左连续，则称 f (x) 在该闭区间上是连续的$

5、结论

$（ 1 ）有理整函数（多项式）： (- \infty, + \infty) 上的连续函数$

$（ 2 ）有理分式函数： f (x) = \frac{g (x)}{h (x)} ，在自身的定义域内每个点内连续 {x | h (x) \neq 0}$

二、函数的间断性

$设 f (x) 在 x_{0} 的某个去心邻域内有定义： \begin{array}{r} {\begin{cases} 1 、 f (x) 在 x_{0} 上无定义 \\ 2 、 f (x) 在 x_{0} 上有定义： {\begin{cases} (1) lim_{x \to x_{0}} f (x) 不存在 \\ (2) lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在但不等于 f (x_{0}) \end{cases} \end{cases} \end{array}} x_{0} 是 f (x) 的间断点$

$1 、无穷间断点$ $2 、振荡间断点$ $3 、可去（可补）间断点$ $4 、跳跃间断点$ $5 、总结$

$间断点分类 {\begin{cases} 第一类： {\begin{cases} (1) 左极限存在，右极限存在，且相等 \Rightarrow 可去间断点 \\ (2) 左极限存在，右极限存在，但不相等 \Rightarrow 跳跃间断点 \end{cases} \\ 第二类： {\begin{cases} (1) 无穷间断点 \\ (2) 振荡间断点 \\ (3) 可去间断点 \\ (4) 跳跃间断点 \end{cases} \end{cases}$

第九节、连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

$定理 1 ：设函数 f (x) 和 g (x) 在点 x_{0} 连续，则它们的和（差） f \pm g 、积 f \cdot 及商 \frac{f}{g} 都在点 x_{0} 连续$

二、反函数与复合函数的连续性

$1 、定理 2 ：设函数 f (x) 在区间 I_{x} 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 x = f^{-} 1 (y) 也在对应的区间 I_{y} = {y | y = f (x), x \in I_{x}} 上单调$

$增加（或单调减少）且连续$

$2 、定理 3 ：（参考第 5 节定理 6 ）设函数 f [g (x)] 由函数 u = g (x) 和函数 f (x) 复合而成， \overset{\circ}{U} (x_{0}) \subset D_{f} \cdot g ，若 lim_{x \to x_{0}} g (x) = u_{0} ，而函数 y = f (u) 在$

$u = u_{0} 上连续，则$

lim_{x \to x_{0}} f [g (x)] = lim_{u \to u_{0}} f (u) = f (u_{0})

$3 、定理 4 ：设函数 y = f [g (x)] 是由函数 u = g (x) 与函数 y = f (u) 复合而成， U (x_{0}) \subset D_{f} \cdot g ，$ $若函数 u = g (x) 在 x = x_{0} 上连续，且 g (x_{0}) = u_{0} ，而函数 y = f (u) 在 u = u_{0} 上连续，$ $则复合函数 y = f [g (x)] 在 x = x_{0} 上也连续$

三、初等函数的连续性

$1 、基本初等函数在其定义域内都连续$

$2 、初等函数在其定义区间内都连续$

第十节、闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最值定理

$1 、最值： f (x) 在 I 区间上有定义，对于 x_{0} \in I, 区间上任一函数值$

$\hspace{4em}f(x)\leq f(x_0) \Rightarrow f(x_0)是f(x)在I上的最大值 $

$\hspace{4em}f(x)\geq f(x_0) \Rightarrow f(x_0)是f(x)在I上的最小值 $

$2 、定理 1 ：有界性与最值定理$

$在闭区间上连续的函数在该区间上有界，且一定能取到最大值和最小值$

二、零点定理与介值定理

$1 、零点：使得 f (x_{0}) = 0 的 x_{0} 即为 f (x) 的零点$

$2 、定理 2 ：零点定理。 f (x) 在 [a, b] 上连续，且 f (a) 与 f (b) 异号，则必存在 ξ \in [a, b] ，使得 f (ξ) = 0$

$3 、定理 3 ：介值定理。 f (x) 在 [a, b] 上连续，且 f (a) = A ， f (b) = B ， A \neq B ，则对于 A 、 B 之间任意一个数 C ，必存在 ξ \in [a, b] ，使得 f (ξ) = C$

$证：$

$设 φ (x) = f (x) - C, φ (x) 在 [a, b] 上也连续， φ (a) = A - C ， φ (b) = B - C$

$∵ C 在 A 、 B 之间$

$∴ φ (a) 与 φ (b) 异号$

$∴ 一定存在 φ \in (a, b) ，使得 φ (ξ) = f (ξ) - C = 0$

$∴ 一定存在 φ \in (a, b) ，使得 f (ξ) = C$

$4 、推论： [a, b] 上连续函数的值与为闭区间 [m, M], 其中 m 与 M 为 f (x) 在 [a, b] 上的最小值和最大值$

三、三类的渐近线的总结

$1 、水平渐近线$

$（ 1 ） lim_{\begin{matrix} x \to + \infty \\ (x \to - \infty) \end{matrix}} f (x) = A ，称 y = A 就是 f (x) 的水平渐近线$

$（ 2 ）水平渐近线可以 0 条、 1 条和 2 条$

$2 、铅直渐近线$

$（ 1 ） lim_{\begin{matrix} x \to x_{0}^{+} \\ (x \to x_{0}^{-}) \end{matrix}} f (x) = \infty \begin{matrix} + \infty \\ - \infty \end{matrix} ，称 x = x_{0} 为 f (x) 的铅直渐近线$

$（ 2 ）铅直渐近线可以 0 条、 1 条和多条$

$3 、斜渐近线$

$（ 1 ）定义： L : y = k x + b (k \neq 0) ，其中 k 为斜率， b 为截距，曲线 y = f (x) ， x + \infty (x - \infty) ，$

$曲线上的动点 M (x, y) 和 L 的距离无限接近于 0 ，称为 L 为曲线 y = f (x) 的斜渐近线$

$（ 2 ）求解$

$① 第一步： lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = k$

$② 第二步： lim_{x \to \infty} [f (x) - k x] = b$

$③ 第三步： y = k x + b 即为 f (x) 的斜渐近线$

$（ 3 ）定理$

$y = k x + b 是曲线 y = f (x) 的斜渐近线的充要条件为 k = lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} 且 lim_{x \to \infty} [f (x) - k x] = b$

第一章、函数与映射 ​

第一节、映射与函数 ​

一、映射 ​

1、映射 ​

2、映射的分类 ​

二、函数 ​

1、概念 ​

2、函数特性 ​

3、反函数、复合函数、初等函数 ​

第二节、数列的极限 ​

一、数列极限的定义 ​

二、收敛数列的性质 ​

1、唯一性 ​

2、有界性 ​

3、保号性 ​

4、收敛数列与其子数列间的关系 ​

第三节、函数的极限 ​

一、函数极限定义 ​

1、自变量x趋于无穷大时 ​

2、自变量趋于x0时 ​

二、函数极限的性质 ​

1、唯一性 ​

2、局部有界性 ​

3、局部保号性 ​

4、函数极限与数列极限的关系 ​

第四节、无穷小与无穷大 ​

一、无穷小 ​

二、无穷大 ​

第五节、极限运算法则 ​

一、定理1 ​

二、定理2 ​

三、定理3 ​

四、定理4 ​

五、定理5 ​

六、定理6 ​

第六节、极限存在准则 两个重要极限 ​

一、夹逼准则 ​

1、数列极限存在准则 ​

2、函数极限存在准则 ​

二、limx→0sinxx=1 ​

三、单调有界准则 ​

1、单调有界数列必有极限 ​

2、单调有界函数必有极限 ​

四、limx→∞(1+1x)x=e ​

五、柯西极限存在准则 ​

第七节、无穷小的比较（比阶） ​

一、定义 ​

二、定理 ​

三、扩展 ​

第八节、函数的连续性与间断性 ​

一、函数的连续性 ​

1、增量 ​

2、定义 ​

3、左连续和右连续 ​

4、连续函数 ​

5、结论 ​

二、函数的间断性 ​

第九节、连续函数的运算与初等函数的连续性 ​

一、连续函数的和、差、积、商的连续性 ​

二、 反函数与复合函数的连续性 ​

三、初等函数的连续性 ​

第十节、闭区间上连续函数的性质 ​

一、有界性与最值定理 ​

二、零点定理与介值定理 ​

三、三类的渐近线的总结 ​

第一章、函数与映射

第一节、映射与函数

一、映射

1、映射

2、映射的分类

二、函数

1、概念

2、函数特性

3、反函数、复合函数、初等函数

第二节、数列的极限

一、数列极限的定义

二、收敛数列的性质

1、唯一性

2、有界性

3、保号性

4、收敛数列与其子数列间的关系

第三节、函数的极限

一、函数极限定义

1、自变量x趋于无穷大时

2、自变量趋于 $x_{0}$ 时

二、函数极限的性质

1、唯一性

2、局部有界性

3、局部保号性

4、函数极限与数列极限的关系

第四节、无穷小与无穷大

一、无穷小

二、无穷大

第五节、极限运算法则

一、定理1

二、定理2

三、定理3

四、定理4

五、定理5

六、定理6

第六节、极限存在准则两个重要极限

一、夹逼准则

1、数列极限存在准则

2、函数极限存在准则

二、 $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$

三、单调有界准则

1、单调有界数列必有极限

2、单调有界函数必有极限

四、 $lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$

五、柯西极限存在准则

第七节、无穷小的比较（比阶）

一、定义

二、定理

三、扩展

第八节、函数的连续性与间断性

一、函数的连续性

1、增量

2、定义

3、左连续和右连续

4、连续函数

5、结论

二、函数的间断性

第九节、连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

二、反函数与复合函数的连续性

三、初等函数的连续性

第十节、闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最值定理

二、零点定理与介值定理

三、三类的渐近线的总结